文系いじめシリーズ解説書

ここは、ゲーム「たかしくんは3個のみかんを5袋買いました」「数学の参考書が教えてくれないこと」「爆発する数学講座(偽)」「(自主規制)で学ぶ必要条件と十分条件」の攻略本ページです。
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  1. このドキュメントについて
  2. ところで

このドキュメントについて

「文系いじめシリーズ」「文系抹殺シリーズ」(!?)とかタグがつけられてしまう、数理論理学の話題を取り扱ったpli-log作品について、作中で触れていない参考文献などについて補足するドキュメントです。
何故PLiCyでこんなことをやっているのか謎ですが、ここまで来たら徹底してやるのが筋なのです。

ところで

作者は文系です……。

  1. たかしくんは3個のみかんを5袋買いました
  2. 数学の参考書が教えてくれないこと
  3. 爆発する数学講座(偽)
  4. 下ネタで学ぶ必要条件と十分条件

たかしくんは3個のみかんを5袋買いました

たかしくんは3個のみかんを5袋買いました

小学生に文章題から式を立てさせる際、「単位あたりの数×個数」の順序にならないと不正解、という話題に……まったく切り込んでいません。
さて、ここで乗算(掛け算)は3×5でも5×3でも良いんだよーという話を実際に(ペアノ算術の公理系で)証明しました。
ご覧の通り自明というほど自明でもないと思います。
何故この話がこんがらがって見えるかというと「公理化された数学」に馴染みがないからだと思われます。
数学の命題の正しさに根拠を与えるのが証明ですが、「これだけは最低限正しいってことにしておこう」という原則がないと、何の証明もできません。
(何もない所から何かを言うことはできません)
その最低限のところが公理ですね。
公理的に数学を捉えるというのはかなり特殊な行為だと思います。
ものの個数のような具体的な数量の認識から「数」という概念が生じたのは確かでしょうからね。

参考文献:
Dirk van Dalen "Logic and Structure"
ペアノ算術の公理系を確認するのに使いました。

数学の参考書が教えてくれないこと

中学数学の話ですが前回より分かりやすいですね。
この話に出てきた誤答は実際にとある教材で確認しました……トホホ。
「奇数と奇数の和は偶数である」のように、論理構造と文法構造が一致しない例は間違えやすいのですが、教科書が間違えたらあかんだろー。生徒が可哀想よー。

中学生の「図形と証明」の単元が、日本人が初めて触れる論理学だと思います。
論理学という言葉が出て来ないので意識されていないでしょうけど。
あの単元でやることが論理学の基本的な推論を押さえていることに気付いた時「ユークリッド(エウクレイデス)偉い超偉い」と本当に思いました。
偉い。昔の人偉い。

爆発する数学講座(偽)

爆発する数学講座(偽)

ボトムから任意の式Aを導入できると解説している教科書もあるので、別解としてこちらに出しておきます(参考文献参照)。

個人的には「これからが面白いのになぁ」という所で話が止まっちゃっててイマイチです。
あの話にはちゃんと続きがあるんですよ。


解説通り、矛盾からは何でも導けるように論理学は出来ています。
矛盾なんかどうせあっても困る代物だから、追放しちゃえばいいんだ、というのは普通の発想ですよね。
ところがどっこい、矛盾を妥当に(ルールに従ったやり方で)導き出す方法はいくつも見つかっちゃってます。
自分たちで作った道具に振り回されている感がありますね。
だがそれがいい。

なお、シークエント算による証明の方が爆発の問題点をあぶり出せる点ではわかりやすくて良い(縮約・弱化と爆発性の関係が分かりやすく示せている)と思います。

参考文献:
小野寛晰『情報科学における論理』
シークエント算の推論規則はこの本で確認しています。
内井惣七『真理・証明・計算』
自然演繹の推論規則を確認した本です。私の解説はこの本に基づいています。
赤間世紀『計算論理学入門』
前原昭二『記号論理入門』
矛盾式(恒偽)から任意の式を証明することを推論規則として用いていた例を確認しました。他にもあると思います。

下ネタで学ぶ必要条件と十分条件

http://www.nikkeibp.co.jp/article/nba/20080822/168550/?P=2

日常言語の「必要」「十分」で考えると事故るという好例になっちゃってんなぁ。

英語・国語・数学・理科で70点以上取れば、合格する。
この時、「英語で70点取ることは、合格することの必要条件」です。
おそらく、こんなような事例を教科書で見て、勝手にアレンジしちゃったんじゃないかな。

必要条件は「その条件がないという状況が絶対に有り得ない」という状況です。
十分条件は「その条件さえあれば他の一切のものが要らない」という状況です。

必要条件でも十分条件でもない条件は、「我々が要らないと考える条件」のことではありません。それどころか、必要条件でも十分条件でもないようなものを、我々は「必要な条件」と考えていることすらあるのです。

ですから、必要条件と十分条件は日本語の「必要」「十分」という言葉で考えてはいけません。

ところでこんな話をこんな所に書いてどうすんだって話ですが、ただのストレス解消なんで気にしないでください。

  1. ゲーデルの不完全性定理
  2. ペアノ算術
  3. 証明
  4. 真理
  5. 計算
  6. 哲学

ゲーデルの不完全性定理

数学の証明論を研究しているのでなければ、特に気にする必要はない何か。

ペアノ算術

真理。

証明

「出来そうで出来ない」状態が長く続いた後、出来た後にまず考えるのが「なんで出来なかったんだろう」という、一連の行為。

真理

たいていはその振る舞いに関心が持たれており、中身については誰も興味がない。

計算

もう人間はやる必要がないこと。

哲学

「お前は哲学を理解していない」とお互いに批判し合うこと。

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